Ecuaciones
Hasta el momento en este apartado hemos estudiado los conceptos básicos del Álgebra, las operaciones fundamentales entre términos algebraicos y la factorización de expresiones algebraicas, por lo que ha llegado el momento de abordar un tema que podría parecer complicado al principio, pero si logramos entender completamente nos será de gran utilidad para lograr resolver una gran cantidad de ejercicios: Las ecuaciones.
Estas están presentes en muchas áreas de la ciencia como la geometría, la física y la mecánica, generalmente tenemos contacto con ellas cuando nos presentan una «fórmula» para resolver algún problema o realizar algún cálculo, por ejemplo, nos dicen que el valor del área de un cuadrado es igual a multiplicar un lado de este por otro lado.
A = L x L
En física nos dicen que la velocidad promedio es igual a la distancia recorrida entre el tiempo que tomó hacer ese recorrido.
V= D/T
En mecánica que nos dicen que la energía potencial es igual a la masa por la aceleración de la gravedad por la altura.
EP = M x G x H
¿Puedes encontrar que tienen en común estas tres formulas? Si observamos, el símbolo de igualdad está presente en las tres. Nos dicen que “algo” es igual a “algo” y esto es lo que define a una ecuación, la igualdad entre dos expresiones algebraicas en la que existe al menos una incógnita o valor desconocido que generalmente se representa con las últimas letras del abecedario como aprendimos en un video anterior. El objetivo de resolver una ecuación es encontrar con qué valor podemos sustituir a cada incógnita para que hagan verdadera la igualdad. Es decir, que al asignar un número o constante a cada incógnita presente en la igualdad se vuelve cierto que ambas expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
En la aritmética por supuesto que también existen las igualdades entre dos expresiones, por ejemplo, podemos afirmar que el número 20 es igual a la suma de 5 más 5 más 10.
20 = 5 + 5 + 10
O bien podemos afirmar que el número 30 es igual a la multiplicación del número 6 por el número 5.
30 = 6 x 5
Pero estas dos igualdades no se consideran ecuaciones ya que no existe ninguna incógnita o valor desconocido en al menos una de las expresiones.
Podríamos convertir fácilmente cualquiera de estas dos igualdades en una ecuación simplemente ocultando alguno de los valores conocidos, sustituyéndolo por una letra que represente una incógnita, por ejemplo, en la primera expresión podemos ocultar el número 10 y decir que el número 20 es igual a la suma de 5 más 5 más x.
20 = 5 + 5 + x
En la segunda expresión podemos ocultar el número 5 y decir que el número 30 es igual a la multiplicación de 6 por x.
30 = 6x
En este momento vale la pena recordar que cuando encontramos un número seguido de una letra sin ningún símbolo de operación entre ellos significa que se están multiplicando, es decir, ambos son factores.
Ahora que formamos estas dos ecuaciones nuestra labor consistiría en encontrar qué valor o número le podríamos asignar a la letra x en cada caso para que vuelva cierta la igualdad. Seguro ya tienes en la mente la respuesta, ya que acabamos de ocultar los valores necesarios para cada caso, pero no siempre es tan sencillo encontrar cuál es el valor correcto, para esos casos en donde no podemos encontrar con un simple ejercicio mental qué valor puede sustituir a la o las incógnitas para volver cierta la igualdad existe un método el cual llamamos «despejar la incógnita o variable», el cual estudiaremos a continuación.
Despeje de una variable
Como su nombre lo sugiere, despejar una variable significa apartar, alejar o eliminar todo lo que esté a su alrededor, ya sean números o letras con el fin de dejarla sola o despejada de cualquier otro símbolo.
¿Cómo se logra esto?
El axioma fundamental de las ecuaciones establece que realizar una operación de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o extracción de una raíz no altera la solución de la ecuación, siempre y cuando sea por la misma cantidad y en ambos lados de esta.
Imagina esto como una balanza, en el plato izquierdo está la expresión algebraica del lado izquierdo de la ecuación y en el plato derecho está la expresión algebraica del lado derecho de la ecuación. Para que la balanza no se desequilibre, la operación u operaciones que realices de un lado, las tienes que forzosamente hacer del otro.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación:
2x + 5 = 11
Y queremos despejar la incógnita o variable x, lo primero que tenemos que hacer es llevar todos los términos que contienen la variable al mismo lado de la ecuación, y todos los términos que no la contienen al otro lado. En este caso, ¿qué término nos estorba para dejar solo o aislado al término que contiene la variable? Así es, la suma del número 5 positivo, por lo que nos conviene agregar la operación contraria a la suma, una resta, del mismo número 5 positivo en ambos lados de la ecuación para mantener equilibrada nuestra balanza, de este modo, al restarle 5 al 5 del lado izquierdo de la ecuación esto se hace cero, logrando nuestro objetivo de «despejar» o dejar aislado el término que contiene a la variable, en este caso el 2x.
2x + 5 – 5 = 11 – 5
Después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación esto nos deja con:
2x = 6
Ahora, ¿qué más nos estorba para dejar completamente sola a la incógnita o variable x? Así es, el coeficiente del término 2x, el número 2, que recordemos está multiplicando a la variable x, por lo que nos conviene agregar la operación contraria a la multiplicación, una división, entre el mismo número 2, en ambos lados de la ecuación para que la igualdad se mantenga.
2x/2 = 6/2
Lo cual, después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación nos deja con:
x = 3
En este punto ya la incógnita está despejada completamente del lado izquierdo de la ecuación y del lado derecho solo tenemos una constante por lo que podemos afirmar que la solución a esta ecuación es x = 3.
Veamos otro ejemplo. Despejar la incógnita en la siguiente ecuación:
3y – 4 = 8
En este caso, queremos despejar la variable y. Para hacerlo, primero necesitamos llevar todos los términos que contienen la variable al mismo lado de la ecuación y todos los términos que no la contienen al otro lado. En este caso, el término que contiene la variable es 3y, por lo que lo dejaremos solo en un lado de la ecuación sumando el número 4 en ambos lados:
3y – 4 + 4 = 8 + 4
Después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación esto nos deja con:
3y = 12
Luego, necesitamos eliminar el coeficiente de la variable, que es 3, dividiendo ambos lados de la ecuación por ese número:
3y/3 = 12/3
Lo cual, después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación nos deja con:
y = 4
En este punto ya la incógnita está despejada completamente del lado izquierdo de la ecuación y del lado derecho solo tenemos una constante por lo que podemos afirmar que la solución a esta ecuación es y = 4.
Veamos otro ejemplo. Despejar la incógnita en la siguiente ecuación:
3z + 3 = 28 – 2z
En este caso, queremos despejar la variable z. Para hacerlo, necesitamos llevar todos los términos que contienen la variable a un lado de la ecuación y todos los términos que no la contienen al otro lado. En este caso, hay términos que contienen a z en ambos lados de la ecuación, por lo que necesitamos sumar 2z en ambos lados para obtenerlos todos juntos en un lado de la ecuación:
3z + 2z + 3 = 28 – 2z + 2z
Después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación esto nos deja con:
5z + 3 = 28
Luego, necesitamos dejar solo el término que contiene la variable restando el número 3 en ambos lados de la ecuación:
5z + 3 – 3 = 28 – 3
Después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación esto nos deja con:
5z = 25
Finalmente, necesitamos despejar z dividiendo ambos lados de la ecuación por 5:
5z/5 = 25/5
Lo cual, después de hacer las operaciones aritméticas en ambos lados de la ecuación nos deja con:
z = 5
En este punto ya la incógnita está despejada completamente del lado izquierdo de la ecuación y del lado derecho solo tenemos una constante por lo que podemos afirmar que la solución a esta ecuación es z = 5.
Veamos un último ejemplo. Despejar la incógnita en la siguiente ecuación:
2 + √x = 5
Para resolver esta ecuación debemos despejar la incógnita x.
Lo primero que debemos hacer es llevar todos los términos que contienen la variable al mismo lado de la ecuación y todos los términos que no la contienen al otro lado. En este caso, nos conviene empezar restando el número 2 a ambos lados de la ecuación, de modo que la raíz cuadrada de x quede sola en el lado izquierdo:
2 – 2 + √x = 5 – 2
Esto nos deja con:
√x = 3
A continuación, elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
(√x)2 = 32
Esto nos deja con:
x = 9
Por lo tanto, la solución a la ecuación 2 + √x = 5 es x = 9.
Es importante recordar que en algunas ecuaciones puede ser necesario realizar varias operaciones antes de poder despejar la variable. En estos casos, es fundamental mantener el equilibrio de la ecuación en todo momento, es decir, asegurarnos de realizar las mismas operaciones en ambos lados para que la igualdad se mantenga. También es importante verificar que la solución encontrada realmente haga verdadera la igualdad original, sustituyendo la variable por el valor obtenido y comprobando que ambos lados de la ecuación tengan el mismo valor.