Factorización

La factorización es una técnica que se utiliza para descomponer una expresión matemática en factores, recordemos que se le llama factor a cada término que se está multiplicando por otro, para obtener un producto, es decir, se le llama factor a cada término que forma parte de una multiplicación, esta técnica se utiliza con el fin de que, al representar esa expresión matemática en forma de factores, nos ayude a encontrar la solución a un problema o al menos a simplificar una expresión más grande.

El concepto de «expresión matemática» engloba desde un solo número hasta cadenas de operaciones entre números, así como un solo término algebraico o una expresión algebraica, que como ya aprendimos, es una cadena de operaciones entre términos algebraicos.

Veamos un ejemplo.

Descomponer en factores el número 16

Para este caso no existe una única solución, ya que podemos encontrar varias combinaciones de números que al multiplicarse entre sí generan como producto al número 16, entre ellas están la multiplicación de 8 por 2, la multiplicación de 4 x 4 o incluso la multiplicación de los números 4 por 2 por nuevamente 2, lo que también da como producto el número 16.

Como ven no seguimos realmente un procedimiento para factorizar el número 16, simplemente bastó con pensar en números que multiplicados entre si den como producto dicho número, esto lo podemos lograr con expresiones matemáticas sencillas como un número, pero a medida que la expresión a descomponer se va haciendo más robusta, por ejemplo, una expresión algebraica compuesta por varios términos, ya no es tan sencillo identificar factores que resulten en esa expresión, es por esto que a lo largo de la historia se han creado métodos que nos ayudan a factorizar la gran mayoría de las expresiones, los cuales estudiaremos en este video.

Factor común

Este método consiste en encontrar constantes y/o variables presentes en cada uno de los términos que forman parte de la expresión a factorizar con el fin de que esos números y/o letras que son comunes a todos los términos de la expresión formen un factor, el factor común, el cual multiplicaremos por otro factor compuesto por la parte restante de cada término después de quitarle la parte común, esta parte restante de cada término la agruparemos entre paréntesis, de este modo formamos otra expresión con el mismo valor que la original pero representada en forma de factores.

Veamos algunos ejemplos para entender mejor este método.

Ejemplo # 1

Factorizar la expresión a² + ab + ac

En este caso nos encontramos con una expresión algebraica formada por la suma de 3 términos algebraicos, todos los términos con coeficiente uno, recordemos que, si no aparece ningún número acompañando a las letras en el término, entonces se sobrentiende que es un número 1, solo que este no se escribe. Observamos que el primer término es una potencia, la letra a elevada al cuadrado, es decir, la letra a multiplicada por sí misma, el segundo término es la multiplicación de la letra a por la letra b y el tercer término es la multiplicación de la letra a por la letra c, ¿qué encontramos en común en estos 3 términos? Es correcto, la multiplicación por la letra a y que los tres tienen coeficiente con valor de 1, por lo que con esta información ya podemos formar nuestro «factor común», el cual es uno a o uno por a, como les parezca más familiar llamarlo.

1a x ( )

Como siguiente paso nos queda averiguar por qué tendría que multiplicarse este factor común que acabamos de formar para conservar el mismo valor de la expresión original, para lograr esto nos apoyaremos de la ley distributiva, es decir, formaremos una cadena de sumas agrupadas entre paréntesis que al ser multiplicada por el factor común se obtenga el mismo valor de la expresión original como producto.

Abrimos paréntesis y nos preguntamos ¿Por qué tengo que multiplicar 1a, nuestro factor común, para obtener como producto el valor del primer término de la expresión original, es decir, la letra a al cuadrado? Así es, lo tenemos que multiplicar por otra letra a.

1a x (a )

Ahora nos preguntamos ¿Por qué tengo que multiplicar 1a, nuestro factor común, para obtener como producto el valor del segundo término de la expresión original es decir, a por b? Así es, lo tenemos que multiplicar por una letra b.

1a x (a + b )

Por último, nos preguntamos ¿Por qué tengo que multiplicar 1a, nuestro factor común, para obtener como producto el valor del tercer término de la expresión original, es decir, a por c? Así es, lo tenemos que multiplicar por una letra c.

1a x (a + b + c)

De esta forma logramos convertir la expresión algebraica a² + ab + ac en otra expresión algebraica, pero esta nueva expresión algebraica formada por dos factores, 1a por la suma agrupada de (a + b + c), estas dos expresiones desde luego son equivalentes, ambas tienen el mismo valor.

Ejemplo # 2

Factorizar la expresión 9x⁴ + 15x³ – 18x²

En este caso nos encontramos con una expresión algebraica formada por una suma y una resta de términos algebraicos. Todos los términos con un coeficiente de distinto valor. En el primer término encontramos un coeficiente con valor 9 positivo y la letra x elevada a la cuarta potencia, en el segundo término encontramos un coeficiente con valor 15 positivo y la letra x elevada a la tercera potencia y en el tercer término encontramos un coeficiente con valor de 18 positivo y a la letra x elevada al cuadrado.

¿Qué encontramos en común en estos 3 términos? Es correcto, la multiplicación por la letra x y que además los tres coeficientes son divisibles entre el número 3, por lo que con esta información ya podemos darnos una idea de lo que será nuestro factor común, pero antes debemos tener en cuenta una regla matemática que nos dice que al estar formando un factor común siempre debemos colocar el coeficiente con mayor valor posible y la letra o letras con el mayor exponente posible.

Por lo que, siguiendo esta regla, el coeficiente con mayor valor que podemos colocar en nuestro factor común es el número 3, ya que este es divisor de los tres coeficientes que forman parte de la expresión, si no siguiéramos esta regla podríamos haber colocado el número 1 como coeficiente de nuestro factor común y esto no sería lo más correcto.

Como siguiente paso analizamos cuál exponente es el de mayor valor que le podemos colocar a la letra x, el cual en este caso es el 2, ya que en el primer término el exponente es 4 y en el segundo es 3.

Con esto ya formamos nuestro factor común más adecuado para factorizar esta expresión: 3x².

3x² x ( )

Como siguiente paso nos queda averiguar por qué tendría que multiplicarse este factor común que acabamos de formar para conservar el mismo valor de la expresión original, formando nuestra cadena de sumas agrupadas entre paréntesis.

Abrimos paréntesis y nos preguntamos, ¿por qué tengo que multiplicar 3x², nuestro factor común, para obtener como producto el valor del primer término de la expresión original es decir 9x⁴? Así es, lo tenemos que multiplicar por 3x².

3x² x (3x² )

Ahora nos preguntamos, ¿por qué tengo que multiplicar 3x², nuestro factor común, para obtener como producto el valor del segundo término de la expresión original es decir 15x³? Así es, lo tenemos que multiplicar por 5x.

3x² x (3x² + 5x )

Por último, nos preguntamos, ¿por qué tengo que multiplicar 3x², nuestro factor común, para obtener como producto el valor del tercer término de la expresión original es decir 18x²? Así es, lo tenemos que multiplicar por el número 6. No pierdan de vista el detalle de que en la expresión original esta es una resta por lo que agregamos este mismo símbolo a la nueva expresión.

3x² x (3x² + 5x – 6)

De esta forma logramos convertir la expresión algebraica 9x⁴ + 15x³ – 18x² en otra expresión algebraica, pero esta nueva expresión algebraica formada por dos factores, 3x² por la suma y resta agrupada de (3x² + 5x – 6) estas dos expresiones desde luego son equivalentes, ambas tienen el mismo valor.

Productos Notables

Hasta el momento hemos factorizado una expresión matemática simple como un número únicamente usando nuestra razón y un par de expresiones algebraicas siguiendo los pasos que nos indica el método de factor común para lograr nuestro objetivo.

Ahora estudiaremos como factorizar ciertas expresiones algebraicas que aparecen frecuentemente y que debido a ello se ha creado una fórmula o sistema para realizar la factorización de esta de manera inmediata, es decir, sin realizar un procedimiento, simplemente rescribiendo la expresión directamente como nos indica la fórmula. A estas expresiones algebraicas que cumplen con ciertas reglas para poder ser factorizadas directamente mediante una fórmula se les llama formalmente «productos notables».

La primera expresión algebraica de este tipo que aprenderemos a factorizar en este video se llama «trinomio cuadrado perfecto», la cual tiene la forma de a² + 2ab + b², como podemos observar esta expresión está compuesta por 3 términos algebraicos y para ser considera como un trinomio cuadrado perfecto, el primer y tercer término de la expresión deben de ser cuadrados perfectos y positivos, es decir, que tengan raíz cuadrada exacta y el segundo término o término de en medio debe ser el doble de lo que resulte de multiplicar el valor de las raíces cuadradas de los términos en los extremos de la expresión.

Lo que resulta de factorizar un trinomio cuadrado perfecto es lo que se conoce como «binomio al cuadrado», que como su nombre lo indica es una expresión algebraica formada por dos términos algebraicos agrupados entre paréntesis y elevados al cuadrado, lo cual tiene la forma de (a+b)² ó (a-b)², esto depende de la operación indicada entre el primer y segundo término de la expresión original, ya sea una suma o una resta, el primero de los términos del binomio es el resultado de calcular la raíz cuadrada del primer término de la expresión original y el segundo de los términos del binomio es el resultado de calcular la raíz cuadrada del tercer término de la expresión original.

Veamos un ejemplo para clarificar esto.

Factorizar la expresión: 9x² + 24xy +16y²

Lo primero que tenemos que analizar cuando debemos factorizar una expresión algebraica es si esta es un producto notable o no con el objetivo de ahorrarnos tiempo y factorizarla directamente con alguna fórmula.

En este caso debemos comprobar si esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto y si es así, proceder a factorizarla directamente.

Sabemos que la expresión debe de cumplir con ciertas reglas para encajar en la definición de trinomio cuadrado perfecto, la primera es que el primer y tercer término sean cuadrados perfectos, es decir, tengan raíz cuadrada exacta, por lo que verificamos si el primer término, 9x², tiene raíz cuadrada exacta, el cual si la tiene, la raíz cuadrada de 9x² es el termino 3x, ya que si multiplicamos 3x por 3x nos da como resultado 9x², ahora como siguiente paso verificamos si el tercer término, 16y² tiene raíz cuadrada exacta, el cual si la tiene, la raíz cuadrada de 16y² es el término 4y, ya que si multiplicamos 4y por 4y nos da como resultado 16y². Ahora como último paso para comprobar si esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto o no, el segundo término debe ser el doble de lo que resulte de multiplicar el valor de las raíces cuadradas de los términos en los extremos, el valor de la raíz cuadrada del primer término es 3x, el cual multiplicamos por el valor de la raíz cuadrada del tercer termino, 4y, y obtenemos como resultado un 12xy, calculamos el doble de este resultado, es decir lo multiplicamos por 2 y obtenemos un 24xy, siendo este valor el mismo del segundo término en la expresión original, por lo que podemos concluir que esta expresión se trata de un trinomio cuadro perfecto.

Una vez comprobado que se trata de un trinomio cuadrado perfecto simplemente aplicamos la fórmula para factorizar una expresión de este tipo, la cual consiste en formar un binomio con el valor de ambas raíces de los términos de los extremos, en este caso 3x y 4y, y colocar entre ambos valores el mismo símbolo de operación que encontremos entre el primer y segundo término de la expresión original, en este caso una suma. Por último, nos queda únicamente agrupar estos dos términos entre paréntesis y elevar esta expresión al cuadrado.

(3x + 4y)²

Cuando ya hemos obtenido el binomio al cuadrado resultado de factorizar el trinomio original podemos comprobar que ambas expresiones tienen el mismo valor simplemente desarrollando el binomio al cuadrado lo cual es una multiplicación de dos factores, (3x + 4y) por (3x + 4y) o bien sustituyendo por algún valor las variables y realizando las operaciones indicadas.

La segunda expresión algebraica que forma parte de los productos notables y que aprenderemos a factorizar en este video se llama «diferencia de cuadrados», la cual tiene la forma de a² – b², como podemos observar esta expresión está compuesta por 2 términos algebraicos que se están restando y para ser considera como una diferencia de cuadrados ambos términos deben de ser cuadrados perfectos, es decir que se les pueda sacar raíz cuadrada exacta.

Lo que resulta de factorizar una diferencia de cuadrados es lo que se conoce como «binomios conjugados», lo cual es una expresión algebraica formada por dos binomios que se multiplican entre sí, ambos binomios están formados por los mismos términos, que obtendremos de calcular la raíz cuadrada de los términos originales, la única diferencia entre un binomio y el otro es la operación que se realiza entre los términos, en el primer binomio se debe colocar la operación de suma y en el segundo la operación de resta.

Veamos un ejemplo para clarificar esto.

Factorizar la expresión: 81x² – 25

Lo primero que haremos es comprobar si esta expresión es una diferencia de cuadrados y si es así, proceder a factorizarla directamente.

Sabemos que la expresión debe de cumplir con ciertas reglas para encajar en la definición de diferencia de cuadrados, la primera es que sea una resta la operación indicada entre los términos del binomio, lo cual esta expresión cumple y la segunda es que ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, por lo que verificamos si el primer término, 81x², tiene raíz cuadrada exacta, el cual si la tiene, la raíz cuadrada de 81x² es el termino 9x, ahora verificamos si el segundo término, el número 25, tiene raíz cuadrada exacta, el cual si la tiene, la raíz cuadrada de 25 es el número 5. Recuerden que no siempre van a existir letras acompañando al coeficiente o número en un término algebraico.

Dado que ambos términos si tienen raíz cuadrada exacta podemos concluir que esta expresión efectivamente se trata de una diferencia de cuadrados.

Una vez comprobado que se trata de una diferencia de cuadrados simplemente aplicamos la fórmula para factorizar una expresión de este tipo, la cual consiste en formar dos binomios con las bases o resultado de calcular la raíz cuadrada de ambos términos de la expresión original, en este caso 9x y 5, y colocar una operación de suma en el primer binomio y una operación de resta en el segundo.

(9x + 5)(9x – 5)

La tercera expresión algebraica que aprenderemos a factorizar en este video es un «trinomio», con la forma de x² + (a+b)x + ab, en donde el primer término debe ser una letra elevada al cuadrado con coeficiente uno, el segundo término debe ser la misma letra del primer término pero con exponente uno y coeficiente de cualquier valor y el tercer término únicamente un número de cualquier valor. Como podemos observar para que un trinomio de esta forma pueda ser factorizado mediante fórmula deben existir dos números que sumados den como total el coeficiente del segundo término y multiplicados den como producto el coeficiente del tercer término.

Lo que resulta de factorizar un trinomio de este tipo es lo que se conoce como «binomios con término común», que como su nombre lo indica es una expresión algebraica formada por dos binomios que se multiplican entre sí y tienen un término en común, el cual obtenemos calculando la raíz cuadrada de la letra en el primer término de la expresión original. Para terminar de formar los dos binomios con término común, agregaremos los dos números que sumados dan como total el coeficiente del segundo término y multiplicados dan como producto el coeficiente del tercer término, uno de esos dos números lo agregamos como término del primer binomio y el otro como término del segundo binomio.

Veamos un ejemplo para clarificar esto.

Factorizar la expresión: x² + 11x + 30

Lo primero que haremos es comprobar si este trinomio cumple con las reglas para ser factorizado con un par de binomios con término común.

El primer término es una letra, la x, elevada al cuadrado con coeficiente uno, el segundo término es la misma letra, la x, con exponente 1 y un coeficiente con valor 11, el tercer término es el número 30.

Ahora, ¿podemos encontrar dos números que sumados den como total el número 11 y multiplicados den como producto el numero 30? Si es posible, el número 6 y el número 5.

Por lo que podemos concluir que este trinomio puede ser factorizado con un par de binomios con termino común.

Para formar los binomios primero obtener la raíz cuadrada de la letra en el primer término de la expresión original, la cual es la letra x.

(x + )(x + )

Como último paso agregamos el número 6 como término en el primer binomio y a el número 5 como término en el segundo binomio.

(x + 6)(x + 5)