Máximo común divisor
El máximo común divisor (MCD) es el número entero más grande que divide exactamente a dos o más números enteros sin dejar residuo. En otras palabras, es el número más grande que es un divisor común de dos o más números. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, ya que 6 es el número más grande que divide exactamente a ambos números. El MCD se puede calcular con diferentes métodos como el algoritmo de Euclides o la descomposición en factores primos. Estos métodos nos permiten encontrar de manera eficiente el MCD de números grandes y nos dan una herramienta poderosa para simplificar fracciones y realizar operaciones aritméticas de manera más sencilla.
En esta guía nos vamos a enfocar en el estudio del método de descomposición en factores primos. Este consiste en escribir los factores primos de los números y luego encontrar el conjunto de factores primos comunes, elevados a la menor potencia en la que aparecen en ambos números. El producto de este conjunto de factores primos comunes es el MCD.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo # 1
Encontrar el MCD de 24 y 36.
Primero se descomponen en factores primos:
24 = 23 × 3
36 = 22 × 32
Luego, se identifican los factores primos comunes, que son 2 y 3. La menor potencia en la que aparece el 2 es 22, y la menor potencia en la que aparece el 3 es 31.
Por lo tanto, el MCD de 24 y 36 es 22 × 31 = 12.
Ejemplo # 2
Encontrar el MCD de 5 y 25.
Primero se descomponen en factores primos:
15 = 3 x 5
25 = 52
Luego, identificamos los factores primos comunes y tomamos el menor exponente de cada factor común:
Factores primos comunes: 5
Por lo tanto, el MCD de 5 y 25 es 51 = 5.
Ejemplo # 3
Encontrar el MCD de 45, 75 y 90.
Factorizamos cada número en sus factores primos:
45 = 32 x 5
75 = 3 x 52
90 = 2 x 32 x 5
Identificamos los factores primos comunes y tomamos el menor exponente de cada factor común:
Factores primos comunes: 3 y 5
MCD (45, 75, 90) = 31 x 51 = 3 x 5 = 15
Por lo tanto, el Máximo Común Divisor (MCD) de los números 45, 75 y 90 es 15.
Ejemplo # 4
¿Cuál es el número más grande que divide exactamente a 36 y 48?
Factorizamos ambos números en sus factores primos:
36 = 22 x 32
48 = 24 x 3
Identificamos los factores primos comunes y tomamos el menor exponente de cada factor común:
Factor primo común: 2 y 3
MCD (36, 48) = 22 x 31 = 4 x 3 = 12
Por lo tanto, el número más grande que divide exactamente a 36 y 48 es 12.
Recuerda que, para calcular el Máximo Común Divisor, es necesario encontrar los factores primos de los números y luego identificar los factores primos comunes, tomando el menor exponente de cada factor común. De esta manera, podemos determinar el número más grande que divide exactamente a los números dados.