Porcentajes

El porcentaje o también conocido como tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más utilizadas de las razones y proporciones que estudiamos en un video anterior.

El porcentaje es un indicador que establece el número de unidades que se tienen por cada 100 de ellas. Calcular un porcentaje de una magnitud, que como vimos en un video anterior, es cualquier cosa que se puede medir, consiste en dividir la cantidad o cifra que representa la medición de esa magnitud en 100 partes iguales y tomar el número de partes que nos indiquen en la cifra de porcentaje a calcular. El porcentaje se representa con el siguiente símbolo:

%

El cual se lee como “por ciento”, es decir, por cada 100, esto derivado de dividir la cantidad que representa la medición de la magnitud en 100 partes iguales

Así para expresar que por cada 100 automóviles que vende una agencia 20 son de color rojo colocamos el número 20 dividido entre el número 100 (20/100), en forma de fracción o bien podemos expresarlo sustituyendo la división entre el número 100 por el símbolo de “por ciento “, es decir, el número 20 seguido del símbolo por ciento, por cada 100 automóviles que vende la agencia 20 por ciento son de color rojo.

¿Y si nos dijeran que por cada 100 automóviles que vende la agencia el 50% son de color rojo? Esto significaría que por cada 100 automóviles que venden 50 (50/100) son de color rojo, es decir, la mitad de ellos.

Si nos dijeran que por cada 100 automóviles que venden el 25% son de color rojo, significaría que 25 de cada 100 automóviles que venden son de color rojo (25/100), es decir, la cuarta parte.

Como vemos, un porcentaje de una magnitud se puede expresar en forma de fracción o con el símbolo de por ciento pero algunas veces lo encontraremos en forma de número decimal, esto porque se ha realizado la división del numerador entre el denominador de la fracción que representa al porcentaje que estamos calculando, por ejemplo, para expresar el 20% en forma de número decimal, eliminamos el símbolo de “por ciento” y dividimos el número 20 entre el número 100 (20/100) obteniendo como resultado el número 0.2

Para expresar el 9% en forma de número decimal, eliminamos el símbolo de por ciento y dividimos el número 9 entre el número 100, obteniendo como resultado el número 0.09

Si queremos expresar un porcentaje con el símbolo de por ciento en lugar de con un número decimal simplemente realizamos la operación contraria a la división, es decir, multiplicamos el número decimal por 100 y agregamos el símbolo de por ciento.

Por ejemplo:

Si queremos expresar el porcentaje 0.2 con el símbolo de por ciento multiplicamos este número por 100, obteniendo como resultado el número 20 y por último agregamos el símbolo de por ciento.

20%

Calcular un porcentaje sobre una cantidad de 100 unidades como en nuestro ejemplo anterior de los automóviles vendidos de color rojo por cada 100 unidades que vende una agencia resulta una tarea sencilla, ya que el indicador “por ciento” ya implica que es por cada cien, pero ¿cómo calculamos un porcentaje sobre una cantidad que no es de 100 unidades? Por ejemplo, si nos dicen que de un grupo de 60 alumnos el 15% está reprobado ¿cómo calculamos el número de alumnos que esta reprobado?

Podemos hacerlo siguiendo nuestra definición de porcentaje, dividiendo la cantidad total de alumnos, en este caso 60, en 100 partes iguales y tomando 15 de ellas, ya que es la cifra de porcentaje a calcular, por lo que de la división del número 60 entre el número 100 resulta el número 0.6, el cual debemos multiplicar por el número 15, ya que esta es la cifra de porcentaje a calcular, obteniendo como resultado el número 9, 9 alumnos del grupo de 60 están reprobados.

O bien, podemos involucrar a las razones y proporciones para que nos ayuden en este tipo de cálculos de porcentaje.

Este cálculo se realiza entre magnitudes directamente proporcionales ya que al aumentar la cifra de porcentaje a calcular también aumenta la cantidad de unidades por cada 100 resultante y si disminuye la cifra de porcentaje a calcular igualmente disminuye la cantidad de unidades por cada 100 resultante.

En la proporción directa que vamos a formar para realizar este tipo de cálculos de porcentaje intervienen las siguientes dos razones, la primera formada por la cantidad total de unidades como antecedente, y como consecuente la cantidad resultante de calcular el porcentaje y la segunda formada por el 100 por ciento como antecedente, y como consecuente la cifra de porcentaje por calcular.

Veamos algunos ejemplos de problemas de porcentaje que podemos encontrar en la prueba y cómo resolverlos utilizando una proporción directa.

Ejemplo # 1

El 20% de un total de 60 pelotas que vende una juguetería al día son de color azul, ¿cuántas pelotas azules vende al día esa juguetería?

Lo primero que debemos hacer para resolver este tipo de problemas de porcentaje es identificar los datos con los que contamos para formar nuestra proporción directa, los cuales en este caso son la cantidad total de unidades, 60 pelotas, y el porcentaje a calcular, el 20%.

Como segundo paso, formamos las dos razones que integran nuestra proporción directa, colocando los valores que identificamos en su lugar correspondiente.

Una vez que sustituimos la cantidad total y el porcentaje a calcular, datos que nos proporciona el problema, nos damos cuenta que la incógnita en este caso es la cantidad resultante de calcular el porcentaje, por lo que como tercer y último paso simplemente aplicamos la regla para conocer un término medio en una proporción directa, regla que estudiamos en un capítulo anterior, la cual nos dice que un término medio es igual al producto de los términos extremos dividido entre el término medio restante.

Por lo tanto, para calcular el término medio que nos hace falta, es decir nuestra incógnita, multiplicamos los términos extremos en este caso los números 60 y 20, obteniendo como producto el número 1200 el cual ahora debemos dividir entre el término medio restante, en este caso el número 100, obteniendo como resultado el número 12, la juguetería vende 12 pelotas azules al día.

Resolvemos la incógnita (x):

x = 60 x 20 / 100

Haciendo la multiplicación, queda:

x = 1200 / 100

Haciendo la división, queda:

x = 12

El 20 % de 60 es 12.

Ejemplo # 2

Un supermercado vende 150 manzanas semanalmente y esta venta representa el 15% del total de frutas que vende el supermercado semanalmente, ¿cuántas frutas vende el supermercado semanalmente?

Como primer paso identificamos los datos que nos proporciona el problema, los cuales son la cantidad resultante de calcular el porcentaje, 150 y el porcentaje que esta cantidad representa, el 15%.

Como segundo paso, formamos las dos razones que integran nuestra proporción directa, colocando los valores que identificamos en su lugar correspondiente.

Una vez que colocamos en su lugar la cantidad resultante de calcular el porcentaje y el porcentaje que esta cantidad representa, datos que nos proporciona el problema, nos damos cuenta que la incógnita en este caso es la cantidad total , por lo que como tercer y último paso aplicamos la regla para conocer un término extremo en una proporción directa, regla que también estudiamos en un capítulo anterior, la cual nos dice que un término extremo es igual al producto de los términos medios dividido entre el término extremo restante.

Por lo tanto, para calcular el termino extremo que nos hace falta, es decir nuestra incógnita, multiplicamos los términos medios, en este caso los números 150 y 100, obteniendo como producto el número 15000 el cual ahora debemos dividir entre el término extremo restante, en este caso el número 15, obteniendo como resultado el número 1000, el supermercado vende 1000 frutas por semana.

Resolvemos la incógnita (x):

x = 150 x 100 / 15

Haciendo la multiplicación, queda:

x = 15000 / 15

Haciendo la división, queda:

x = 1000

150 es el 15 % de un total de 1000.

Ejemplo # 3

De 500 barcos que cruzan el canal de Panamá mensualmente 300 son de origen europeo, ¿qué porcentaje del total de barcos que cruzan el canal de panamá mensualmente representan los barcos de origen europeo?

Como primer paso identificamos los datos que nos proporciona el problema, los cuales son la cantidad total de barcos, 500 y la cantidad resultante de calcular un porcentaje sobre esa cantidad, 300 barcos.

Como segundo paso, formamos las dos razones que integran nuestra proporción directa, colocando los valores que identificamos en su lugar correspondiente.

Una vez que colocamos en su lugar la cantidad total y la cantidad resultante de calcular un porcentaje sobre esta, datos que nos proporciona el problema, nos damos cuenta que la incógnita en este caso es el porcentaje que representa a los 300 barcos, por lo que como tercer y último paso simplemente aplicamos la regla para conocer un término extremo en una proporción directa, multiplicamos los términos medios en este caso los números 300 y 100, obteniendo como producto el número 30000 el cual ahora debemos dividir entre el término extremo restante, en este caso el número 500, obteniendo como resultado el número 60, los barcos de origen europeo representan el 60% de los barcos que cruzan el canal de panamá mensualmente.

Resolvemos la incógnita (x):

x = 300 x 100 / 500

Haciendo la multiplicación, queda:

x = 30000 / 500

Haciendo la división, queda:

x = 60

300 es el 60 % de 500.

Ejemplo # 4

Una agencia de viajes otorga el 20% de descuento al comprar un viaje a Las Vegas, si un cliente pagó en total 3200 pesos por su viaje a las vegas, ¿cuál era el precio original del viaje?

Como primer paso identificamos los datos que nos proporciona el problema, los cuales son un descuento de 20% que se le hizo a un cliente por comprar un viaje y la cantidad en pesos que el cliente pagó por él, al haberle hecho el 20% de descuento, éste solo pagó el 80% del costo original del viaje, por lo que contamos con estos dos datos, el porcentaje que el cliente pagó, únicamente el 80 % y la cantidad de dinero a la que equivale ese porcentaje, 3200 pesos.

Como segundo paso, formamos las dos razones que integran nuestra proporción directa, colocando los valores que identificamos en su lugar correspondiente.

Una vez que colocamos en su lugar la cantidad en pesos que el cliente pagó y el porcentaje que esta cantidad representa, datos que deducimos a partir del planteamiento del problema, nos damos cuenta que la incógnita en este caso es la cantidad total o valor original del viaje, por lo que como tercer y último paso simplemente aplicamos la regla para conocer un término extremo en una proporción directa, multiplicamos los términos medios en este caso los números 3200 y 100, obteniendo como producto el número 320000 el cual ahora debemos dividir entre el término extremo restante, en este caso el número 80, obteniendo como resultado el número 4000, el costo original del viaje a las vegas era de 4000 pesos.

Resolvemos la incógnita (x):

x = 3200 x 100 / 80

Haciendo la multiplicación, queda:

x = 320000 / 80

Haciendo la división, queda:

x = 4000

3200 es el 80 % de 4000.

Ejemplo # 5

Un automóvil que avanza a 50 km/h aumenta su velocidad hasta llegar a los 80 km/h, ¿en qué porcentaje aumentó su velocidad?

Como primer paso identificamos los datos que nos proporciona el problema, los cuales son una velocidad inicial, 50 km/h y una velocidad final 80 km/h, nos piden calcular el porcentaje de aumento, por lo que con esto ya sabemos cuál es nuestra incógnita, el porcentaje que representa la cantidad de aumento de la velocidad.

Como segundo paso debemos encontrar la cantidad total y la cantidad de aumento correctas. Nos están preguntando cuál es el porcentaje de aumento sobre 50 km/h, por lo que esa es nuestra cantidad total, y para obtener la cantidad de aumento de velocidad simplemente restamos la velocidad final 80 km/h menos la velocidad inicial 50 km/h, obteniendo como cantidad de aumento 30 km/h.

Como último paso ahora que ya obtuvimos los datos correctos para formar nuestra proporción y sabemos cuál es nuestra incógnita solo nos resta aplicar la regla para conocer un término extremo, multiplicamos los términos medios en este caso los números 30 y 100, obteniendo como producto el número 3000 el cual ahora debemos dividir entre el término extremo restante, en este caso el número 50, obteniendo como resultado el número 60, el porcentaje de aumento de la velocidad del automóvil fue del 60 %.

Resolvemos la incógnita (x):

x = 30 x 100 / 50

Haciendo la multiplicación, queda:

x = 3000 / 50

Haciendo la división, queda:

x = 60

30 es el 60 % de 50.