Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, comúnmente números, que tienen una relación entre sí, es decir, existe una regla o patrón que define cuál es el siguiente número en la secuencia.
A los elementos que conforman la sucesión se le llaman términos, así al primer elemento que forma parte de la sucesión se la llama primer término y se representa con la letra a subíndice 1 (a1), al siguiente elemento se le llama segundo término y se presenta con la letra a subíndice 2 (a2), al siguiente tercer término y se presenta con la letra a subíndice 3 (a3) y así sucesivamente hasta el último elemento que forme parte de esta, el cual se representa con la letra a subíndice n (an), donde n representa la posición que ocupa este elemento en la sucesión.
Por ejemplo, en la siguiente sucesión el primer término es el número 3, el segundo término es el número 5, el tercero el número 7, el cuarto el número 9 y el quinto el número 11.
3, 5, 7, 9, 11
En los reactivos de la prueba normalmente se elimina uno o dos términos de la sucesión que tú debes encontrar o deducir con base en la relación o patrón que detectaste analizando el comportamiento del resto de los términos.
Así como los conjuntos pueden ser finitos o infinitos también las sucesiones, esto lo define si la sucesión tiene un número de elementos que se pueden contar en su totalidad, en cuyo caso se trataría de una sucesión finita, o no, lo cual se trataría de una sucesión infinita. Puedes revisar el video sobre conjuntos de este apartado si quieres repasar estos conceptos.
Como ya lo mencionamos, una sucesión se crea a partir de una regla o patrón que rige el comportamiento de los elementos que forman la misma. De acuerdo con las características de esa regla las sucesiones se clasifican en diferentes tipos, a continuación, estudiaremos los principales:
Sucesiones aritméticas
Una sucesión aritmética o también conocida como lineal o de primer grado es aquella en la que la diferencia entre un término y el siguiente es una constante, es decir, la diferencia entre un término y el siguiente siempre es la misma. Esta diferencia puede ser tanto positiva como negativa, es decir, que para obtener el siguiente término de la sucesión se esté sumando un valor positivo o negativo.
Por ejemplo, en la sucesión:
3, 5, 7, 9, 11
Podemos notar que la diferencia entre un término y el siguiente es siempre 2 positivo, al primer término, en este caso el número 3 se le suman dos unidades positivas y se obtiene el siguiente, el número 5, a este se le suman 2 unidades positivas y se obtiene el número 7, a este se le suman dos unidades positivas y se obtiene el número 9 y a este se le suman dos unidades positivas y se obtiene el número 11. Por lo tanto, ¿cuál es el siguiente número en esta sucesión? Así es, el número 13, ya que es el número que se obtiene al sumarle dos unidades positivas al número 11. En este punto no tendríamos problema para seguir calculando el siguiente término de la sucesión, simplemente vamos sumando dos unidades al último término, pero ¿qué pasa si nos piden encontrar, por ejemplo, el valor del término número 100 de esta sucesión?, ¿no se les haría muy laborioso ir sumando de dos en dos hasta llegar al termino número 100 y así encontrar su valor? Claro, a todos se nos haría, pero por suerte a lo largo de la historia de esta ciencia, las matemáticas, han existido personas dedicadas al estudio del comportamiento de los números y han elaborado fórmulas que nos facilitan el trabajo con ellos ¿y qué creen? Sí, para este tipo de sucesión se nos proporciona una fórmula para conocer el valor de cualquier término, sin importar que lugar ocupe en esta, puedes encontrar el valor del primer término o el valor del término ocupando el lugar número 100. La fórmula es la siguiente:
an = a1 + d(n-1)
Donde la letra a subíndice n representa el valor del término que se encuentra en la posición que estamos buscando, formalmente se conoce como el enésimo término. La letra a subíndice 1 representa el valor del primer término de la sucesión, la letra d representa la diferencia que existe entre un término y el siguiente, es decir, el valor de la constante ya sea positivo o negativo y la letra n representa la posición del término del que deseamos conocer su valor.
Dada esta fórmula, solo nos resta sustituir los valores donde corresponden y encontrar el valor de cualquier término deseado, sin olvidar que esta fórmula solo funciona para sucesiones aritméticas o lineales, por ejemplo, para encontrar el término número 100 de la sucesión:
3, 5, 7, 9, 11
Sustituimos a1 con el valor del primer término de la sucesión, en este caso 3, después sustituimos la letra d con el valor de la diferencia entre un término y el siguiente en este caso 2 positivo, y por último sustituimos la letra n con el número de posición que queremos encontrar, en este caso, la posición número 100.
an = 3 + 2(100 – 1)
Efectuamos las operaciones indicadas y obtenemos como resultado el número 201, el valor del término en la posición número 100 de esta sucesión es el número 201.
Sucesiones cuadráticas
Una sucesión cuadrática o de segundo grado es aquella en donde también podemos encontrar una diferencia constante, al igual que en las sucesiones aritméticas o de primer grado, pero esta diferencia constante no se da entre un término y otro, esta diferencia constante se da entre los valores de las diferencias entre un término y otro, es decir, al calcular las diferencias entre los valores de las primeras diferencias, es por ello que se llaman sucesiones cuadráticas o de segundo grado ya que se calculan las diferencias en un segundo nivel.
Por ejemplo, en la sucesión:
3, 6, 13, 24, 39
Al calcular la diferencia entre un término y el siguiente o primeras diferencias obtenemos un 3 positivo, esto de calcular la diferencia entre el primer término y el segundo, un 7 positivo, la diferencia entre el segundo y tercer término, un 11 positivo, la diferencia entre el tercer y cuarto término y un 15 positivo, la diferencia entre el cuarto y quinto término.
Sucesión: 3, 6, 13, 24, 39
Primer nivel de diferencias: 3, 7, 11, 15
Como puedes observar la diferencia entre un término y el siguiente no es constante por lo que no se trata de una sucesión aritmética o de primer grado, pero ahora si calculamos la diferencia entre un valor y el siguiente de este primer nivel de diferencias, siempre obtenemos un 4 positivo, es decir, hay una diferencia constante de 4 positivo entre un valor y el siguiente en este primer nivel de diferencias, por lo que esta sucesión se considera una sucesión cuadrática ya que existe una constante en un segundo nivel de diferencias.
Sucesión: 3, 6, 13, 24, 39
Primer nivel de diferencias: 3, 7, 11, 15
Segundo nivel de diferencias: 4, 4, 4
Para encontrar el valor del enésimo término en una sucesión cuadrática, es decir, encontrar cuánto vale un término en una posición dada también existe una fórmula, que, aunque está fuera del alcance de la prueba aquí la presentamos para que la conozcas:
an = an2 + bn + c
Donde la letra a subíndice n representa el valor del término que se encuentra en la posición que estamos buscando, las letras a, b y c representan valores que tenemos que calcular y la letra n representa la posición del término del cual deseamos conocer su valor.
Pero ¿cómo calculamos los valores de las letras a, b y c? Para ello los matemáticos también han desarrollado 3 sencillas fórmulas, la primera es para obtener el valor de la letra a, esta consiste simplemente en dividir el valor de la constante que encontramos en el segundo nivel de diferencias entre el número 2.
a = valor de la constante / 2
En nuestro ejemplo, al sustituir en la fórmula el valor de la constante, el cual encontramos que es el número 4, nos queda la división de este número 4, entre el número 2, lo que nos da como resultado el valor de 2, la letra a en este caso vale 2.
La fórmula que nos proporcionan para obtener el valor de b la podemos utilizar únicamente después de conocer el valor de a ya que este valor forma parte de esta, la fórmula es la siguiente:
b = primer valor en el primer nivel de diferencias menos 3 por a.
Sustituyendo los valores correspondientes, el valor de b nos quedaría igual a:
b = 3 – 3(2)
El número 3 positivo, ya que este es el primer valor en el primer nivel de diferencias menos el número 3 por 2, ya que 2 es el valor de a que obtuvimos con la formula anterior, por lo que el valor de b en este ejemplo es 3 negativo.
Por último, aplicamos la fórmula que nos proporcionan para encontrar el valor de c, la cual podemos utilizar únicamente después de haber encontrado los valores de a y b, esta es:
c = valor del primer término de la sucesión menos a menos b.
Sustituyendo los valores correspondientes del ejemplo el valor de c nos quedaría igual a:
c = 3 – 2 – (-3)
El número 3 ya que este es el valor del primer término de la sucesión menos el número 2, ya que este es el valor de a, menos 3 negativo, el valor de b, por lo que en este caso el valor de c es 4 positivo.
Una vez que tenemos los valores correspondientes a las letras a, b y c, los cuales son a = 2, b = -3 y c = 4 podemos entonces sustituirlos en nuestra fórmula para encontrar el enésimo termino en esta sucesión, por ejemplo:
Para encontrar el valor del término en la posición 6 de esta sucesión, la fórmula quedaría de la siguiente forma:
an = 2(6)2 + -3(6) + 4
El valor de a, en este caso 2 positivo, por el valor de n al cuadrado, en este caso el número 6 al cuadrado, más el valor de b en este caso 3 negativo por el valor de n, en este caso el número 6, y por último, más el valor c, en este caso 4 positivo.
Por lo que elevamos el número 6 al cuadrado y obtenemos el número 36 el cual multiplicamos por el número 2, obteniendo como resultado el número 72.
an = 72 + -3(6) + 4
Después multiplicamos el número 3 negativo por el número 6, obteniendo como resultado el número 18 negativo.
an = 72 – 18 + 4
Por último, efectuamos las sumas restantes y obtenemos como resultado el número 58 positivo, el valor del término en la posición 6 de esta sucesión es el número 58.
Sucesiones geométricas
Una sucesión geométrica es aquella en la que para definir un término de esta siempre hay que multiplicar el término anterior por un mismo número. A ese número por el que siempre hay que multiplicar para obtener el siguiente término se le llama formalmente «razón» y se representa con la letra r.
Por ejemplo, en la sucesión:
2, 4, 8, 16, 32
Podemos notar que, primero, no es una sucesión aritmética, ni cuadrática ya que no existe una constante entre las diferencias del primer nivel ni del segundo, pero si podemos observar que para obtener cada término hay que multiplicar el anterior siempre por el número 2, el cual es la razón en esta sucesión r = 2. Al primer término en este caso el número 2 lo multiplicamos por 2 y obtenemos el siguiente, el número 4, y si a este lo multiplicamos por 2 obtenemos el siguiente, el número 8 y si a este lo multiplicamos por 2 obtenemos el siguiente, el número 16 y si a este lo multiplicamos por 2 obtenemos el siguiente, el número 32. Por lo tanto ¿cuál es el siguiente número en esta sucesión? Así es, el número 64, ya que es el número que se obtiene al multiplicar el número 32 por 2.
Para este tipo de sucesión también existe una fórmula para encontrar el valor del enésimo término, es decir, encontrar el valor de cualquier término de la sucesión sin importar el lugar que ocupe en esta, desde el primer término, hasta cualquiera que deseemos, la fórmula es:
an = a1 (r)n-1
Donde la letra a subíndice n representa el valor del número que se encuentra en la posición que estamos buscando. La letra a subíndice 1 representa el valor del primer término de nuestra sucesión, la letra r representa a la razón, es decir, el número por el que estamos multiplicando un término para obtener el siguiente y la letra n representa la posición del término del que deseamos conocer su valor.
Dada esta fórmula, solo nos resta sustituir los valores donde corresponden y encontrar el valor de cualquier término deseado, sin olvidar que esta fórmula solo funciona para sucesiones geométricas, por ejemplo, para encontrar el término número 8 de la sucesión:
2, 4, 8, 16, 32
Sustituimos a1 con el valor del primer término de la sucesión, en este caso 2, después sustituimos la letra r con el valor de la razón, en este caso el número 2 y por último sustituimos la letra n con el número de posición que queremos encontrar, en este caso, el término número 8.
an = 2 (2)8-1
an = 2 (128)
an = 256
Efectuamos las operaciones indicadas y obtenemos como resultado el número 256, el número 256 se encuentra en la posición número 8 de esta sucesión.
Sucesiones recurrentes
Una sucesión recurrente es aquella en la que para definir un término de esta hay que efectuar algún tipo de operación entre los dos o más términos anteriores a él.
Un ejemplo de este tipo de sucesión es la famosa sucesión de Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
En la cual para obtener el siguiente término hay que realizar una suma de los dos términos anteriores. Esta sucesión comienza a partir de los números 0 y 1, estos dos términos se suman y se obtiene el siguiente, el número 1, después se suma este tercer termino, el número 1, con el término anterior, también un numero 1 para obtener el siguiente termino, el número 2, después se suma este cuarto termino, el número 2, con el anterior, el número 1, para obtener el quinto termino, el número 3, después se suma este quinto término, el número 3, con el anterior, el número 2, para obtener el sexto término, el número 5 y así sucesivamente hasta donde queramos parar, esta sucesión es infinita.
Cada sucesión de este tipo está definida por su propia “ley de recurrencia”, en el caso de la sucesión de Fibonacci la ley de recurrencia que la define es la siguiente:
an = an-1 + an-2
Donde la letra a subíndice n representa el valor del número que se encuentra en la posición que estamos definiendo. La letra a subíndice n menos 1 representa el valor del número que se encuentra en la posición anterior al término que estamos definiendo y la letra a subíndice n menos 2 representa el valor del número que se encuentra dos posiciones atrás del término que estamos definiendo.
En el caso de la sucesión de Fibonacci también existe una fórmula para calcular el valor del enésimo término, es decir, para calcular el valor de cualquier término de la sucesión.
an = φn − (1 − φ)n / √5
Está formula se obtuvo a partir de su ley de recurrencia y un valor que se conoce como “el número áureo” que se obtiene de dividir dos números consecutivos de esta sucesión. Esta fórmula y número áureo están fuera del alcance de la prueba, pero te invitamos a investigar más sobre este tema, es muy interesante.
Además de estos 4 tipos de sucesiones que acabamos de estudiar existen un número interminable de reglas o patrones que se pueden crear para definir una sucesión, ¡tu trabajo en la prueba es encontrar ese patrón lo más rápido posible!